Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)成中心對(duì)稱，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，且f（-1）=1，
f（0）=-2，則f（0）+f（1）+…+f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：由已知中定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)成中心對(duì)稱，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，我們易判斷出函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，進(jìn)而由f（-1）=1，f（0）=-2，我們求出一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)的值，進(jìn)而利用分組求和法，得到答案．

解答：解：∵f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，
∴f(x+3)=-

1

f(x+ 3 2 )

=f(x)，所以，f（x）是周期為3的周期函數(shù)．
f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，又f(-1)=-

1

f(-1+ 3 2 )

，
∴f(

1

2

)=-1，
∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

3

4

，0)，
∴f(1)=-f(-

5

2

)=-f(

1

2

)=1，
∴f（0）+f（1）+…+f（2010）=f（2010）=f（0）=-2．
故答案為：-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的周期性，其中根據(jù)已知中對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)=-

1

f(x+ 3 2 )

，判斷出函數(shù)的周期性，是解答本題的關(guān)鍵．