Question

18．已知F₁（-4，0），F₂（4，0）為橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的兩個焦點，P在橢圓上，且△PF₁F₂的面積為$3\sqrt{3}$，則cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知條件利用橢圓定義和余弦定理列出方程組，再由三角形面積利用正弦定理求出1-cosθ=$\sqrt{3}$sinθ，由此利用sin²θ+cos²θ=1，能求出cosθ．

解答 解：∵F₁（-4，0），F₂（4，0）為橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的兩個焦點，
P在橢圓上，且△PF₁F₂的面積為$3\sqrt{3}$，設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}+2mn=100}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=2mncos∠{F}_{1}P{F}_{2}=64}\end{array}\right.$，
整理，得mn=$\frac{18}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$，
∵△PF₁F₂的面積為3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$×sin∠F₁PF₂=3$\sqrt{3}$，
∴1-cos∠F₁PF₂=$\sqrt{3}$sin∠F₁PF₂，
∵sin²∠F₁PF₂+cos²∠F₁PF₂=1，∴cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、余弦定理的合理運用．