Question

若關于x的不等式|x+4|+|x+1|＜

2m2+1

m

有解，則m的取值范圍為

0＜m＜

1

2

或m＞1

．

Answer 1

分析：根據含有絕對值不等式的性質，得不等式左邊x+4|+|x+1|的最小值為3，因此當

2m2+1

m

＞3時，原不等式有實數解，解此關于m的不等式，可得0＜m＜

1

2

或m＞1．

解答：解：設F（x）=|x+4|+|x+1|
∵|x+4|+|x+1|≥|（x+4）-（x+1）|=3
∴F（x）=|x+4|+|x+1|的最小值為3，當x∈[-4，-1]時取到最小值3
∵關于x的不等式|x+4|+|x+1|＜

2m2+1

m

有解，
∴

2m2+1

m

＞3，得

m＞0 2m2-3m+1＞0

，解之得0＜m＜

1

2

或m＞1
故答案為：0＜m＜

1

2

或m＞1

點評：本題給出含有絕對值的不等式有實數解，求參數m的取值范圍．著重考查了絕對值不等式的性質和一元二次不等式解法等知識，屬于基礎題．