Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是C₁C、B₁C₁的中點．求證：MN∥平面A₁BD．

Answer 1

分析：分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．設正方體的棱長等于2，算出

MN

=

1

2

DA1

，從而得到MN∥DA₁，結合線面平行的判定定理即可評出MN∥平面A₁BD．

解答：解：分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系
設正方體的棱長等于2，則
D（0，0，0），A₁（2，0，2），M（0，2，1），N（1，2，2）
∴

MN

=(1，0，1)，

DA 1

=(2，0，2)
可得

MN

=

1

2

DA1

，得到MN∥DA₁
∵MN?平面A₁BD，DA₁?平面A₁BD，
∴MN∥平面A₁BD．

點評：本題給出M、N分別正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱的中點，求證直線與平面平行．著重考查了正方體的性質、利用向量的方法證明線面平行和直線與平面平行的判定定理等知識，屬于中檔題．