Question

如圖△ABC，D是∠BAC的平分線
（Ⅰ）用正弦定理證明：

AB

AC

=

BD

DC

；
（Ⅱ）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設∠ADB=α，∠BAD=β則在△ABD中根據正弦定理

AB

BD

 =

sinα

sinβ

，同時在△ACD中根據正弦定理

AC

DC

=

sin∠ADC

sin∠DCA

由根據∠BAD=∠DAC，∠DCA=180°-α，進而得出

sin∠ADC

BD∠DCA

=

sinα

sinβ

，進而證明

AB

AC

=

BD

DC

（Ⅱ）先由余弦定理在△ABC求出BC，再根據AB=2，AC=1，

AB

AC

=

BD

DC

求出BD和DC，在△ABD中由余弦定理得求出AD

解答：（Ⅰ）證明：設∠ADB=α，∠BAD=β，則∠ADC=180°-α，∠CAD=β
由正弦定理得，在△ABD中，

AB

sinα

=

BD

sinβ

①
在△ACD中，

AC

sin(180°-α)

=

DC

sinβ

，②
又sinα=sin（180°-α）③
由①②③得：

AB

AC

=

BD

DC

．

（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理得
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=4+1-2×2×1×cos120°=7.20090209
故BC=

7

設BD=x，DC=y，則
x+y=

7

④
由（Ⅰ）得

x

y

=2，即x=2y⑤
聯立④⑤解得x=

2 7

3

，y=

7

3

故cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

5

2 7

在△ABD中，由余弦定理得
AD²=AB²+BD²=2AB•BDcos∠ABD
=4+（

2 7

3

）2-2×2×

2 7

3

×

5

2 7

=

4

9

所以AD=

2

3

．

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．在解三角形問題的時候往往通過這兩個定理進行角和邊的互化，故應靈活運用．