Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（-x）-mf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，函數(shù)的對稱軸為直線x=-1，設(shè)出頂點式，利用f（0）=0，即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）確定函數(shù)g（x）的解析式，再分類討論，利用g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，函數(shù)的對稱軸為直線x=-1，設(shè)f（x）=a（x+1）²-1，
∵f（0）=0，∴a-1=0，∴a=1，
∴f（x）=（x+1）²-1；
（2）g（x）=f（-x）-mf（x）+1=（-x+1）²-1-m（x+1）²+m+1=（1-m）x²-2（1+m）x+1
①m=1時，g（x）=-4x+1在[-1，1]上是減函數(shù)，滿足題意；
②

1-m＞0 1+m 1-m ≥1

或

1-m＜0 1+m 1-m ≤-1

，解得0≤m＜1或m＞1
綜上知，m≥0．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．