Question

設焦點在x軸上的橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），其離心率為

2

2

．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線l過點P（0，4），則直線l何時與橢圓M相交？

Answer 1

分析：（1）利用焦點在x軸上的橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），其離心率為

2

2

，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用判別式非負，即可得到結論．

解答：解：（1）∵焦點在x軸上的橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），其離心率為

2

2

，
∴

4-b2

4

=

1

2

∴b²=2
∴橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）直線l過點P（0，4），故斜率存在時，設方程為y=kx+4
代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+16kx+28=0
∴△=256k²-112（1+2k²）≥0
∴k≥

14

2

或k≤-

14

2

時，直線l與橢圓M相交
斜率不存在時，直線l與橢圓M相交．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．