Question

已知點，的坐標分別為，.直線，相交于點，且它們的斜率之積是，記動點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）設是曲線上的動點，直線，分別交直線于點，線段的中點為，求直線與直線的斜率之積的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記直線與的交點為，試探究點與曲線的位置關系，并說明理由.

Answer 1

（1）()；（2）；（3）點在曲線上.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、點斜式求直線方程、中點坐標公式等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，設出P點坐標，利用斜率公式，求出直線AP、BP的斜率，計算得到曲線C的方程；第二問，設出Q點坐標，利用點斜式寫出直線AQ的方程，它與x=4交于M，則聯立得到M點坐標，同理得到N點坐標，利用中點坐標公式得到后，將Q點橫坐標的范圍代入直接得到所求范圍；第三問，結合第二問得到直線AN和直線BM的方程，令2個方程聯立，得到T點坐標，通過計算知T點坐標符合曲線C的方程，所以點T在曲線C上.
(1)設動點，則(且)
所以曲線的方程為().                 4分
（2）法一：設，則直線的方程為，令，則得，直線的方程為，
令，則得，          6分
∵ =
∴，∴                 8分
故
∵ ，∴，
∴，
∴，
∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為           10分
法二：設直線的斜率為，則由題可得直線的斜率為，
所以直線的方程為，令，則得，
直線的方程為，令，則得，
∴，
∴                      8分
故
∴直線與直線的斜率之積的取值范圍為           10分
（3）法一：由（2）得，，
則直線的方程為，直線的方程為， 12分
由，解得即      12分
∴

∴ 點在曲線上.                            14分
法二：由（2）得，
∴  ，        12分
∴ 
∴ 點在曲線上.                       14分
法三：由（2）得，，，
∴  ，           12分
∴ 　∴ 點在曲線上.         14分