Question

兩球O₁和O₂在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的內部，且互相外切，若球O₁與過點A的正方體的三個面相切，球O₂與過點C₁的正方體的三個面相切，則球O₁和O₂的表面積之和的最小值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設出球O₁與球O₂的半徑，求出面積之和，利用相切關系得到半徑與正方體的對角線的關系，通過基本不等式，從而得出面積的最小值．
解答：解：設球O₁與球O₂的半徑分別為r₁，r₂，∴r₁+r₂+（r₁+r₂）=．r₁+r₂==，
r₁+r₂≥2，球O₁與球O₂的面積之和為：
S=4π（r₁²+r₂²）=4π（r₁+r₂）²-8πr₁r₂≥
=，當且僅當r₁=r₂時取等號
其面積最小值為．
故選A．
點評：本題是中檔題，考查球與正方體相切關系的應用，考查基本不等式求解最值問題，考查計算能力，空間想象能力．