Question

定義在非零實數集上的函數f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在（0，+∞）上單調遞增，則不等式f(

1

6

x)+f(x-5)≤0的解集為

[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]

．

Answer 1

分析：首先判斷出函數f（x）定義在非零實數集上的偶函數，再將抽象不等式利用函數單調性轉化成具體不等式-1≤

1

6

x（x-5）≤1去解．

解答：解：在f（xy）=f（x）+f（y）中，
令x=y=1，得f（1）=2f（1），f（1）=0，
令x=y=-1，得f（1）=2f（-1），f（-1）=0 
令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
函數f（x）定義在非零實數集上的 偶函數． 
不等式f(

1

6

x)+f(x-5)≤0可以化為f[

1

6

x（x-5）]≤f（1 ），-1≤

1

6

x（x-5）≤1．，-6≤x（x-5）≤6．且x≠0，x-5≠0．
在坐標系內，如圖函數y=x（x-5）圖象與y=6，y=-6兩直線．
 
 由圖可得x∈[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]
故答案為：[-1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]

點評：本題考查抽象函數、不等式解．將抽象不等式利用函數單調性轉化成具體不等式是關鍵步驟和解法的核心思想．