Question

定義在非零實數集上的函數f（x）滿足關系式f（xy）=f（x）+f（y）且f（x）在區間（0，+∞）上是增函數
（1）判斷函數f（x）的奇偶性并證明你的結論；
（2）解不等式f（x）+f（x-

1

2

）≤0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）可求f（1），令x=y=-1，求f（-1），令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），結合（1）的結論即可證得f（-x）=f（x）
（3）利用恒等式變f（x）+f（x-

1

2

）≤0為）f[x（x-

1

2

）]≤0．由（1）的結論知函數是一偶函數，由函數在區間（0，+∞）上的遞增函數，即可得到關于x的不等式．

解答：解：（1）f）x）為偶函數，證明如下：
證明：令x=y=1，由f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=0
令x=y=-1，則f（0）=2f（-1）
∴f（-1）=0------------------（2分）
又令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），所以f（x）為偶函數------（5分）
（2）∵f（x）在區間（0，+∞）上是增函數
∴f（x）≤0=f（1）時，0＜x≤1
又由（1）得結論-1≤x＜0
∵f（x）+f（x-

1

2

）=f[x（x-

1

2

）]≤0．
∴-1≤x(x-

1

2

)≤1且x（x-

1

2

）≠0
解可得到，

1- 17

4

≤x＜0或0＜x＜

1

2

或

1

2

＜x≤

1+ 17

4

（12分）

點評：本題主要考查了利用賦值求解抽象函數的函數值，及奇偶性的判斷與證明，以及由函數的單調性解抽象不等式，抽象不等式的解法基本上都是根據函數的單調性將其轉化為一元二次不等式或者是一元一次不等式求解，轉化時要注意轉化的等價性，別忘記定義域的考慮．