Question

 

已知，函數在[1，＋∞）上是一個單調函數。

（1）試問函數在的條件下，在[1，＋∞）上能否是單調遞減函數？請說明理由；

（2）若在區間[1，＋∞）上是單調遞增函數，試求出實數的取值范圍；

（3）設，1且，求證：。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）

若在[1，＋∞）上是單調遞減函數，則須，即

這樣的實數不存在，故在[1，＋∞）上不可能是單調遞減函數。

（2）若在[1，＋∞）上是單調遞增函數，則

由于，故，從而

（3）證法一：由（1）、（2）可知在[1，＋∞）上只能是單調增函數。

若，則矛盾；

若，則，即矛盾；

故只有成立。

證法二：設，則，∴，

兩式相減得

∴

∵，，∴

又，∴

∴，即，亦即，證畢。