Question

內接于半徑為R的半圓且周長最大的矩形的邊長為（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和

Answer 1

【答案】分析：如圖所示：矩形的長為2Rcosθ，寬為 Rsinθ，故矩形的周長為4Rcosθ+2Rsinθ=2R sin（θ+∅），矩形的周長的最大時有cosθ+sinθ=1，解出cosθ 和sinθ 的值，即可求得所求．
解答：解：如圖所示：設矩形ABCD，∠AOB=θ，
由題意可得矩形的長為2Rcosθ，寬為 Rsinθ，
故矩形的周長為4Rcosθ+2Rsinθ=2R （cosθ+sinθ）=2R sin（θ+∅），
其中，sin∅=，cos∅=．故矩形的周長的最大值等于2R，此時，sin（θ+∅）=1．
即 （cosθ+sinθ）=1，再由sin²θ+cos²θ=1可得cosθ=，sinθ=，
故矩形的長為 2R =，寬為 ，
故選D．
點評：本題考查兩角和的正弦公式，同角三角函數的基本關系，正弦函數的值域，得到 cosθ+sinθ=1，是解題的關鍵．