Question

內接于半徑為R的半圓且周長最大的矩形的邊長為（　　）

• A．

  R

  2

  和

  3R

  2

• B．

  4R

  5

  和

  7R

  5

• C．

  R

  5

  和

  16R

  5

• D．

  5 R

  5

  和

  4 5 R

  5

Answer 1

分析：如圖所示：矩形的長為2Rcosθ，寬為 Rsinθ，故矩形的周長為4Rcosθ+2Rsinθ=2

5

R sin（θ+∅），矩形的周長的最大時有

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，解出cosθ 和sinθ 的值，即可求得所求．

解答：解：如圖所示：設矩形ABCD，∠AOB=θ，
由題意可得矩形的長為2Rcosθ，寬為 Rsinθ，
故矩形的周長為4Rcosθ+2Rsinθ=2

5

R （

2

5

cosθ+

1

5

sinθ）=2

5

R sin（θ+∅），
其中，sin∅=

2

5

，cos∅=

1

5

．故矩形的周長的最大值等于2

5

R，此時，sin（θ+∅）=1．
即 （

2

5

cosθ+

1

5

sinθ）=1，再由sin²θ+cos²θ=1可得cosθ=

2

5

，sinθ=

1

5

，
故矩形的長為 2R

2

5

=

4 5 R

5

，寬為

5 R

5

，
故選D．

點評：本題考查兩角和的正弦公式，同角三角函數的基本關系，正弦函數的值域，得到

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，是解題的關鍵．