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已知函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x-3cosx-1.
(1)求f(
π3
)的值;
(2)求f(x)的最大值和最小值,并求f(x)取最大值、最小值時(shí)的x的集合.
分析:(1)將x=
π
3
代入f(x)表達(dá)式,結(jié)合
π
3
角的三角函數(shù)值加以計(jì)算,可得f(
π
3
)的值;
(2)利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,化簡得f(x)=3cos2x-3cosx-2,再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),研究以 cosx為單位的二次函數(shù),可得f(x)的最大值和最小值,并可求出相應(yīng)的x的集合.
解答:解:(1)∵f(x)=2cos2x-sin2x-3cosx-1
∴f(
π
3
)=2cos2
π
3
-sin2
π
3
-3cos
π
3
-1=2×(
1
2
2-(
3
2
2-3×
1
2
-1=-
11
4

(2)f(x)=2cos2x-sin2x-3cosx-1
=3cos2x-3cosx-2=3(cosx-
1
2
2-
11
4

∵cosx∈[-1,1]
∴當(dāng)cosx=-1時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為4,此時(shí)x的集合為{x|x=π+2kπ,k∈Z}
當(dāng)cosx=
1
2
時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為-
11
4
,此時(shí)x的集合為{x|x=±
π
3
+2kπ,k∈Z}.
點(diǎn)評:本題給出關(guān)于sinx、cosx的函數(shù),求函數(shù)的最大、最小值,并求相應(yīng)的x的集合.著重考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )

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已知函數(shù)f(x)=2+log0.5x(x>1),則f(x)的反函數(shù)是(  )

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已知函數(shù)f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1
(1)m為何值時(shí),函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn),求m的值.

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(2013•上海)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案
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