Question

已知cosα=

1

7

，cos(α-β)=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

（Ⅰ） 求

cos(π+2α)tan(π-2α)sin( π 2 -2α)

cos( π 2 +2α)

的值；
（Ⅱ）求cosβ及角β的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)要求的式子為-2cos²α+1，把cosα=

1

7

代入運(yùn)算求得結(jié)果．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角的范圍求出sin（α-β） 和 sinα 的值，由兩角和差的余弦公式cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）運(yùn)算求出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）∵cosα=

1

7

，∴

cos(π+2α)tan(π-2α)sin( π 2 -2α)

cos( π 2 +2α)

=

-cos2α•(-tan2α)cos2α

-sin2α

=-cos2α=-2cos²α+1=

47

49

．
（Ⅱ）∵cos(α-β)=

13

14

，0＜β＜α＜

π

2

，∴sin（α-β）=

3 3

14

，sinα=

4 3

7

．
cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

，∴β=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．