Question

設(shè)n∈N^*，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，把D_n內(nèi)的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排列成點(diǎn)列：(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(x_n,y_n).

（1）求(x_n,y_n)；

（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=x₁,a_n=y_n²(++…+)(n≥2),求證：n≥2時(shí)，；

（3）在（2a）的條件下，比較(1+)(1+)…(1+)與4的大小.

 

Answer 1

解:（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因?yàn)閤∈N^*，所以x=1.

又x=1與y=-nx+2n的交點(diǎn)為(1,n)，所以D_n內(nèi)的整點(diǎn)，按由近到遠(yuǎn)排列為：

（1，1），（1，2），…，(1,n).

（2）證明：n≥2時(shí)，a_n=y_n²(+…+)=n²［++…+］.

所以=++…+，=++….

兩式相減得=.

（3）n=1時(shí)，1+=2＜4，n=2時(shí)，(1+)(1+)=＜4.

可猜想：n∈N^*時(shí)，(1+)(1+)…(1+)＜4,

事實(shí)上n≥3時(shí)，由（2）知.

所以(1+)(1+)…(1+)=···…·

=··(··…·)·(1+a_n)

=2··()²·()²·…·()²·()²·a_n+1

==2(+++…+)

＜2［1+++…+］=2(1+1++…+)＜4.