Question

設(shè)n∈N^*，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，把D_n內(nèi)的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排列成點(diǎn)列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）
（1）求（x_n，y_n）；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足，求證：n≥2時(shí)，；
（3）在（2）的條件下，比較與4的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因?yàn)閤∈N^*，所以x=1，從而x=1與y=-nx+2n的交點(diǎn)為（1，n），即所以D_n內(nèi)的整點(diǎn)（x_n，y_n）為（1，n）
（2）先化簡(jiǎn)為，兩式相減即可證得
（3）先猜想：n∈N^*時(shí)，，再利用（2）的結(jié)論可以證明．
解答：解：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因?yàn)閤∈N^*，所以x=1
又x=1與y=-nx+2n的交點(diǎn)為（1，n），所以D_n內(nèi)的整點(diǎn)，按由近到遠(yuǎn)排列為：
（1，1），（1，2），…，（1，n）------------------（4分）
（2）證明：n≥2時(shí)，
所以，
兩式相減得：------------------（9分）
（3）n=1時(shí)，，n=2時(shí)，
可猜想：n∈N^*時(shí)，------------------（11分）
事實(shí)上n≥3時(shí)，由（2）知
所以
=
=
=

=-----（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題以線性規(guī)劃為載體，考查數(shù)列、不等式的證明，應(yīng)注意充分挖掘題目的條件，合理轉(zhuǎn)化