Question

在平面直角坐標系xOy中，點P（a，b）（a＞b＞0）為動點，F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點．已知△F₁PF₂為等腰三角形．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）設直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF₂上的點，滿足，求點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用△F₁PF₂為等腰三角形得|PF₂|=|F₁F₂|，解其對應的方程即可求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）先把直線方程與橢圓方程聯立，求得A，B兩點的坐標，代入，即可求點M的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）設F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
由題得|PF₂|=|F₁F₂|，即=2c，整理得2+-1=0，得=-1（舍），或=，
所以e=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得橢圓方程為3x²+4y²=12c²，直線方程為y=（x-c）．
A，B的坐標滿足方程組，
消y并整理得5x²-8xc=0，
解得x=0，x=，得方程組的解為，，
不妨設A（c，c），B（0，-c）．
設點M的坐標為（x，y），則=（x-c，y-c），=（x，y+c）
由y=（x-c）得c=x-y  ①，
由=-2即（x-c）x+（y-c）（y+c）=-2．
將①代入化簡得18x²-16xy-15=0，⇒y=代入①化簡得c=＞0．所以x＞0，
因此點M的軌跡方程為18x²-16xy-15=0  （x＞0）．
點評：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的數學思想，考查解決問題的能力和運算能力．