Question

平面內與兩定點連線的斜率之積等于非零常數的點的軌跡，加上 兩點，所成的曲線可以是圓，橢圓或雙曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程，并討論的形狀與值的關系;

（Ⅱ）當時，對應的曲線為；對給定的，對應的曲線為，若曲線的斜率為的切線與曲線相交于兩點，且（為坐標原點），求曲線的方程．

Answer 1

解：（I）設動點為M，其坐標為，

    當時，由條件可得，

即，

又的坐標滿足，

故依題意，曲線的方程為．--------------3分

當曲線的方程為，是焦點在軸上的橢圓；

當時，曲線的方程為，是圓心在原點，半徑為2的圓；

當時，曲線的方程為，是焦點在軸上的橢圓；

當時，曲線的方程為，是焦點在軸上的雙曲線．--------6分

（Ⅱ）曲線；，：，

      設圓的斜率為的切線和橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，

       令直線AB的方程為，①

       將其代入橢圓的方程并整理得

      

       由韋達定理得

                                              ②

       因為  ，

       所以                                                            ③

       將①代入③并整理得 

       聯立②得                                                       ④

       因為直線AB和圓相切，因此，，

       由④得 所以曲線的方程，即．-------12分