Question

9、用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色（如圖甲、乙），要求在①②③④四個區域中相鄰（有公共邊界）的區域不用同一顏色．
（1）若n=6，則為甲圖著色的不同方法共有

480

種；
（2）若為乙圖著色時共有120種不同方法，則n=

5

．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個分步乘法計數原理，對區域①②③④按順序著色，第一塊有6種方法，第二塊就不能選第一塊的顏色，有5種結果，以此類推，根據分步計數原理得到結果．
（2）利用分步乘法計數原理得到不同的染色方法有n（n-1）（n-2）（n-3），根據共有120種結果，列出等式，解關于n的方程，得到結果．

解答：解：（1）由分步乘法計數原理，
對區域①②③④按順序著色，共有6×5×4×4=480種方法．
（2）與第（1）問的區別在于與④相鄰的區域由2塊變成了3塊．
同樣利用分步乘法計數原理，得n（n-1）（n-2）（n-3）=120．
∴（n²-3n）（n²-3n+2）=120，
即（n²-3n）²+2（n²-3n）-12×10=0，
∴n²-3n-10=0，n²-3n+12=0（舍去），
解得n=5，n=-2（舍去）．
故答案為：（1）480 （2）5

點評：本題考查分步計數原理，考查利用排列組合知識解決實際問題的能力，要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素．