Question

已知對任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-t（t為常數）并且當x＞0時，f（x）＜t
（1）求證：f（x）是R上的減函數；
（2）若f（4）=-t-4，解關于m的不等式f（m²-m）+2＞0．

Answer 1

解：（1）證明：設x₁＜x_2則
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-t-f（x₁）=f（x₂-x₁）-t
∵x₂-x₁＞0
∴f（x₂-x₁）＜t
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）是R上的減函數
（2）f（4）=f（2）+f（2）-t=-4-t
∴f（2）=-2
由f（m²-m）＞-2=f（2）
得m²-m＜2
解之得：原不等式解集為{m|-1＜m＜2}
分析：（1）設出兩個自變量，將一個自變量用另一個自變量表示，利用已知條件，比較出兩個函數值的大小，利用函數單調性的定義得證．
（2）將自變量4用2+2表示，利用已知條件求出f（2）值，將不等式中的-2用f（2）代替，利用函數的單調性將不等式中的法則脫去，解二次不等式求出m的范圍．
點評：本題考查證明抽象不等式的單調性唯一用的方法是單調性的定義；利用單調性解抽象不等式，先想法將不等式變為
f（m）＞f（n）形式．