Question

19．已知函數f（x）=2lnx-x²，若方程f（x）+m=0在$[{\frac{1}{e}，e}]$內有兩個不等的實根，則實數m的取值范圍是$（{1，2+\frac{1}{e^2}}]$．

Answer 1

分析 轉化方程為函數，通過求解函數的最值，轉化求解m的范圍即可．

解答 解：函數f（x）=2lnx-x²，若方程f（x）+m=0在$[{\frac{1}{e}，e}]$內有兩個不等的實根，
即函數f（x）=2lnx-x²，與y=-m在$[{\frac{1}{e}，e}]$內有兩個不相同的交點，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x，令$\frac{2}{x}$-2x=0可得x=±1，當x∈[$\frac{1}{e}$，1）時f′（x）＞0，函數是增函數，當x∈（1，e）時，f′（x）＜0，函數是減函數，
函數的最大值為：f（1）=-1，f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²．函數的最小值為：2-e²．
方程f（x）+m=0在$[{\frac{1}{e}，e}]$內有兩個不等的實根，只需：-2-$\frac{1}{{e}^{2}}≤-m＜-1$，
解得m∈$（{1，2+\frac{1}{e^2}}]$．
故答案為：$（{1，2+\frac{1}{e^2}}]$．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的最值的求法，考查數形結合以及轉化思想的應用．