Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，傾斜角為α的直線l的參數方程為(t為參數)．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρcos2θ－4sin θ＝0.

(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)已知點P(1,0)．若點M的極坐標為，直線l經過點M且與曲線C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為Q，求|PQ|的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)3.

【解析】試題分析：（1）由參數方程化為直角坐標方程和極坐標化為直角坐標方程得到直角坐標方程；（2）聯立直線和曲線方程得到關于t的二次，根據中點坐標公式得到點Q對應的參數值為，進而得到PQ的值.

解析：

(1)∵直線l的參數方程為 (t為參數)，∴直線l的普通方程為y＝tan α·(x－1)．

由ρcos2θ－4sin θ＝0得ρ2cos2θ－4ρsin θ＝0，

即x2－4y＝0.

∴曲線C的直角坐標方程為x2＝4y.

(2)∵點M的極坐標為，

∴點M的直角坐標為(0,1)．

∴tan α＝－1，直線l的傾斜角α＝.

∴直線l的參數方程為 (t為參數)．

代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.

設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2.

∵Q為線段AB的中點，

∴點Q對應的參數值為＝＝3.

又點P(1,0)，則|PQ|＝＝3.