Question

設當x=θ時，函數f（x）=3sinx+4cosx取得最小值，則cosθ=

 

．

Answer 1

分析：把f（x）=3sinx+4cosx化積為f（x）=5sin（x+α），求出使函數取得最小值時的x的值，然后利用誘導公式求cosθ的值．

解答：解：由f（x）=3sinx+4cosx
=5(

3

5

sinx+

4

5

cosx)，
令cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，
∴f（x）=5（sinxcosα+cosxsinα）
=5sin（x+α）．
當x+α=-

π

2

+2kπ，k∈Z時，
即θ=x=-

π

2

-α+2kπ，k∈Z時，f（x）有最小值．
此時cosθ=cos(-

π

2

-α+2kπ)=-sinα=-

4

5

．
故答案為：-

4

5

．

點評：本題考查了兩角和與差的正弦函數，考查了同角三角函數的基本關系式與誘導公式，是中檔題．