Question

（2009•成都模擬）設函數f(x)=

x2+bx+c 2

其中b＞0，c∈R．當且僅當x=-2時，函數f（x）取得最小值-2．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若方程f（x）=x+a（a∈R）至少有兩個不相同的實數根，求a取值的集合．

Answer 1

分析：（1）注意關鍵字：當且僅當x=-2時，函數f（x）取得最小值-2，說明表達式中的二次函數圖象關于直線x=-2對稱，并且f（-2）=-2，由此可得出b、c的值，從而得到函數f（x）的表達式；
（2）作出函數y=f（x）的圖象，再作出直線l：y=x+a，通過先求出兩圖象恰有兩個不同公共點的臨界位置，再平移直線，根據直線在y軸上截距的取值范圍，最后求得a取值的集合．

解答：解：（1）∵當且僅當x=-2時，函數f（x）取得最小值-2
∴二次函數y=x²+bx+c圖象關于直線x=-2對稱且f（-2）=-2
可得

- b 2 =-2 (-2) 2+b(-2)+c=-2

⇒

b=4 c=-2

∴函數f（x）的表達式為f(x)=

x2+4x+2，x≤0 2，x＞0

（2）同一坐標系里，作出函數y=f（x）的圖象和直線l：y=x+a，可得：
①當a=2時，直線l與y=f（x）的圖象有兩個不同的公共點，
②將直線向下平移至兩圖象相切，此時由x²+4x+2=x+a得
x²+3x+2-a=0，根的判別式△=9-4（2-a）=0，⇒a=-

1

4

綜合①②這兩種特殊位置，可得當-

1

4

≤a≤2時，直線l在圖中兩條件平行線之間運動（含邊界）
此時兩圖象有兩個或三個公共點，相應地方程有至少兩個不相同的實數根
所以a取值的集合是：[-

1

4

，2]

點評：本題著重考查了函數解析式求解的常用方法和根的存在性及根的個數判斷等知識點，屬于中檔題．采用數形結合與分類討論，使本題化難為易，迎刃而解．