Question

【題目】已知正項數列滿足： ， .為數列的前項和.

（Ⅰ）求證：對任意正整數，有；

（Ⅱ）設數列的前項和為，求證：對任意，總存在正整數，使得時， .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(I)分類討論和兩種情況，結合裂項求和即可證得題中的結論；

(II)結合(I)的結論的結論可知數列是單調遞增數列，構造函數，該函數在區間上單調遞增，然后結合數列的性質即可證得題中的結論.

試題解析：

（Ⅰ）證法一：因為，

∴時， ，

∴ ，即，

當時， ，綜上， .

證法二：考慮到數列的前項和為，猜想，

當時，結論顯然成立.假設時， 成立，

則當時，由，得

，結論成立.

綜上：對任意，有，

以下同解法一.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

.因為在區間上單調遞增，

所以，

從而 ，

當時， ， ，

所以 ，

令

設為不小于的最小整數，取 (即)，

當時， .