Question

某中學一、二、三年級分別有普法志愿者36人、72人、54人，用分層抽樣的方法從這三個年級抽取一個樣本，已知樣本中三年級志愿者有3人．
（I）分別求出樣本中一、二年級志愿者的人數；
（Ⅱ）用A_i（i=1，2…）表示樣本中一年級的志愿者，a_i（i=1，2，…）表示樣本中二年級的志愿者，現從樣本中一、二年級的所有志愿者中隨機抽取2人，①用以上志愿者的表示方法，用列舉法列出上述所有可能情況，②抽取的二人在同一年級的概率．

Answer 1

（Ⅰ）依題意，分層抽樣的抽樣比為

3

54

=

1

18

．
∴在一年級抽取的人數為36×

1

18

=2人．
在二年級抽取的人數為72×

1

18

=4人．
所以一、二年級志愿者的人數分別為2人和4人；
（Ⅱ）①用A₁，A₂表示樣本中一年級的2名志愿者，用a₁，a₂，a₃，a₄表示樣本中二年級的4名志愿者．
則抽取二人的情況為A₁A₂，A₁a₁，A₁a₂，A₁a₃，A₁a₄，A₂a₁，A₂a₂，A₂a₃，A₂a₄，a₁a₂，a₁a₃，a₁a₄，a₂a₃，a₂a₄，a₃a₄共15種．
②抽取的二人在同一年級的情況是A₁A₂，a₁a₂，a₁a₃，a₁a₄，a₂a₃，a₂a₄，a₃a₄共7種．
∵每一種情況發生的可能性都是等可能的，
∴抽取的二人是同一年級的概率為

7

15

．