Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是棱BC的中點．
求證：（1）AD⊥C₁D；
（2）A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證AD⊥C₁D，而DC₁?平面BCC₁B₁，可先證AD⊥平面BCC₁B₁，而三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，則C₁C⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
根據線面垂直的性質可知C₁C⊥AD，又點D是棱BC的中點，且△ABC為正三角形，從而AD⊥BC，又BC∩C₁C=C，滿足定理所需條件；
（2）欲證A₁B∥平面ADC₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證A₁B與平面ADC₁內一直線平行即可，連接A₁C交AC₁于點E，再連接DE，根據中位線可知ED∥A₁B，又A₁B?平面ADC₁，ED?平面ADC₁，滿足定理所需條件．
解答：證明：（1）因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
所以C₁C⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
所以C₁C⊥AD，又點D是棱BC的中點，且△ABC為正三角形，
所以AD⊥BC，因為BC∩C₁C=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁，
又因為DC₁?平面BCC₁B₁，所以AD⊥C₁D；（6分）
（2）連接A₁C交AC₁于點E，再連接DE．
因為四邊形A₁ACC₁為矩形，所以E為A₁C的中點，
又因為D為BC的中點，所以ED∥A₁B．
又A₁B?平面ADC₁，ED?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．（14分）
點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質定理，以及直線與平面平行的判定，同時考查了學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．