Question

設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，試求的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴（2a+c）accosB+cabcosC=0，
即（2a+c）cosB+bcosC=0，
則（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0
∴2sinAcosB+sin（C+B）=0，
即，
B是三角形的一個內角，
∴
（Ⅱ）∵，
∴12=a²+c²+ac≥3ac，即ac≤4
∴=，
即的最小值為-2
分析：（1）根據題目中所給的向量的數量積寫出數量積的公式，得到關于三角形邊和角的等式關系，根據正弦定理把變化為角，逆用兩角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根據角的范圍寫出角．
（2）本題要求向量的數量積的最值，而這兩個向量的夾角是上一問求出的B，在表示向量數量積時，只有兩邊之積是一個變量，因此要表示出兩邊之積，根據余弦定理和基本不等式得到ac的范圍，得到結果．
點評：本題是一個三角函數同向量結合的問題，是以向量的數量積為條件，得到三角函數的關系式，在高考時可以以解答題形式出現，本題又牽扯到解三角形，是一個綜合題．