Question

在△ABC中，a，b，c是A，B，C三個內角對應的三邊，已知b²+c²=a²+bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若

a

b

=

cosB

cosA

，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式變形后代入計算求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（Ⅱ）利用正弦定理化簡已知等式，再利用二倍角的正弦函數公式化簡，利用正弦函數性質得到A=B或A與B互余，即可確定出三角形形狀．

解答：解：（Ⅰ）∵b²+c²=a²+bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∵A為三角形的內角，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵

a

b

=

sinA

sinB

=

cosB

cosA

，
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
則△ABC為等腰三角形或直角三角形．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．