Question

如圖，已知各頂點都在半球面上的正三棱錐S-ABC．若AB=a，則該三棱錐的體積為

 

．

Answer 1

分析：根據三棱錐的各頂點都在半球面上的正三棱錐S-ABC．且AB=a，我們根據圓內接三角形的性質，我們易得到棱錐底面的外接圓即為“赤道”，其中半徑等于球半徑，高等于球半徑，求出高和底面面積后，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：若正三棱錐S-ABC的各頂點都在半球面上
則等邊△ABC的外接圓半徑等于球半徑R
又∵AB=a，∴R=

3

3

a
則S_△ABC=（

1

2

×1×

3

2

）a²=

3

4

a²
∴V=

1

3

×S△ABC×R=

a3

12

故答案為：

a3

12

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積公式，其中根據球的幾何特征和棱錐的幾何特征，求出棱錐的高和底面面積，是解答本題的關鍵．