Question

已知f（x）是定義域為R的奇函數，且f（2）=0，當x＞0時，2f（x）+xf′（x）＞0，則不等式f（x）＞0的解集為

（-2，0）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：構造函數g（x）=x²f（x），求出g′（x）根據導函數與函數單調性的關系判斷出當x＞0時，g（x）=x²f（x）單調遞增；根據f（x）是定義域為R的奇函數，判斷出g（x）為R上的奇函數，結合g（x）的性質得到g（x）＞0的解集，進一步求出所以不等式f（x）＞0的解集．

解答：解：構造函數g（x）=x²f（x），
所以g′（x）=2xf（x）+x²f′（x），
因為當x＞0時，2f（x）+xf′（x）＞0，
所以當x＞0時，g′（x）＞0，
所以當x＞0時，g（x）=x²f（x）單調遞增；
因為f（x）是定義域為R的奇函數，
所以g（x）=x²f（x）為R上的奇函數，
所以g（0）=0，g（x）在x＜0時也為增函數，
因為f（2）=0，
所以g（2）=0，
所以g（x）＞0的解集為{x|-2＜x＜0或x＞2}
所以不等式f（x）＞0的解集為 （-2，0）∪（2，+∞）；
故答案為：（-2，0）∪（2，+∞）

點評：本題通過導函數的符號與函數單調性的關系；考查根據函數的單調性與奇偶性解不等式，屬于一道中檔題．