Question

設(shè)f(x)=

2

3

x3-2x+m(-

4

3

≤m≤

4

3

)．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（II）求方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（I）利用函數(shù)的求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和極值．
（II）由于-

4

3

≤m≤

4

3

，所以f(-1)=m+

4

3

≥0，f(1)=m-

4

3

≤0．再進(jìn)行分類討論．

解答：解：（I）f'（x）=2x²-2，由f'（x）=2x²-2=0得 x=-1或x=1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	--	0	+
f（x）	單增	極大值	單減	極小值	單增

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；
極大值為f(-1)=m+

4

3

，極小值為f(1)=m-

4

3

．
（II）由于-

4

3

≤m≤

4

3

，所以f(-1)=m+

4

3

≥0，f(1)=m-

4

3

≤0．
①當(dāng)m=-

4

3

時(shí)，f（-1）=0，即x=-1是方程f（x）=0的一個(gè)解．
又因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">f(1)=-

4

3

-

4

3

=-

8

3

＜0， f(3)=

2

3

×27-6-

4

3

=12-

4

3

＞0，
所以，方程f（x）=0在（1，3）內(nèi)至少有一個(gè)解．根據(jù)函數(shù)f（x）單調(diào)性可知，方程f（x）=0有兩個(gè)不同的解．
②當(dāng)m=

4

3

時(shí)，f(1)=m-

4

3

=0，即x=1是方程f（x）=0的一個(gè)解．
又因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">f(-1)=

4

3

+

4

3

=

8

3

＞0， f(-3)=-12+

4

3

＜0，
所以方程f（x）=0在（-3，-1）內(nèi)至少有一個(gè)解．根據(jù)函數(shù)f（x）單調(diào)性可知，方程f（x）=0有兩個(gè)不同的解．
③當(dāng)-

4

3

＜m＜

4

3

時(shí)，f(-1)=m+

4

3

＞0，f(1)=m-

4

3

＜0，所以方程f（x）=0在（-1，1）內(nèi)至少有一個(gè)解．又由f（-3）=m-12＜0，知方程f（x）=0在（-3，-1）內(nèi)至少有一個(gè)解；由f（3）=12+m＞0，知方程f（x）=0在（1，3）內(nèi)至少有一個(gè)解．根據(jù)函數(shù)f（x）單調(diào)性可知，方程f（x）=0有三個(gè)不同的解．

點(diǎn)評(píng)：通過本題考查學(xué)生幾個(gè)方面的能力：（1）能否將“求方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)問題；（2）對(duì)于函數(shù)問題，是否能夠主動(dòng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)整體的狀態(tài)、性質(zhì)．