Question

設函數f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1為f（x）的極值點．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調性；
（Ⅲ）設g(x)=

2

3

x3-x2，試比較f（x）與g（x）的大小．

Answer 1

（Ⅰ）因為f'（x）=e^x-1（2x+x²）+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），
又x=-2和x=1為f（x）的極值點，所以f'（-2）=f'（1）=0，
因此

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

解方程組得a=-

1

3

，b=-1．
（Ⅱ）因為a=-

1

3

，b=-1，所以f'（x）=x（x+2）（e^x-1-1），
令f'（x）=0，解得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．
因為當x∈（-∞，-2）∪（0，1）時，f'（x）＜0；
當x∈（-2，0）∪（1，+∞）時，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-2，0）和（1，+∞）上是單調遞增的；在（-∞，-2）和（0，1）上是單調遞減的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2，
故f（x）-g（x）=x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），令h（x）=e^x-1-x，則h'（x）=e^x-1-1．
令h'（x）=0，得x=1，因為x∈（-∞，1]時，h'（x）≤0，
所以h（x）在x∈（-∞，1]上單調遞減．故x∈（-∞，1]時，h（x）≥h（1）=0；
因為x∈[1，+∞）時，h'（x）≥0，所以h（x）在x∈[1，+∞）上單調遞增．
故x∈[1，+∞）時，h（x）≥h（1）=0．
所以對任意x∈（-∞，+∞），恒有h（x）≥0，又x²≥0，因此f（x）-g（x）≥0，
故對任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．