Question

已知圓O：x²+y²=1和定點A（2，1），由圓O外一點P（a，b）向圓O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|。

（1）求實數a、b間滿足的等量關系；
（2）求線段PQ長的最小值；
（3）若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點，試求半徑取最小值時圓P的方程。

Answer 1

解：（1）連結OP，
∵Q為切點，∴PQ⊥OQ，
由勾股定理有，
又由已知|PQ|=|PA|，故，
即，
化簡得，實數a、b間滿足的等量關系為：2a+b-3=0。
（2）由（1）知，點P在直線l：2x+y-3=0上，
∴|PQ|_min=|PA|_min，即求點A到直線l的距離，
∴。
（3）圓P與圓O有公共點，圓P半徑最小時為與圓O外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1，圓心P為過原點與l垂直的直線l′與l的交點P₀，
∴，
又l′：x-2y=0，
解方程組，得，
即，
∴所求圓方程為。