Question

已知

a

=(sin

x

3

，cos

x

3

)，

b

=(cos

x

3

，

3

cos

x

3

)，函數f(x)=

a

•

b

．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）的形式，并求其圖象對稱中心的坐標；
（2）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，結合正弦函數的對稱中心、對稱軸方程求解即可；
（2）通過b²=ac，利用余弦定理求出cosx的范圍，然后求出x的范圍，求出

2

3

x+

π

3

的范圍，利用 f（x）=sin（

2

3

x+

π

3

）+

3

2

，求出函數f（x）的值域．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos2

x

3

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

令sin（

2x

3

+

π

3

）=0⇒

2x

3

+

π

3

=kπ，解得：x=

3kπ

2

-

π

2

（k∈Z），

而y=f（x）的圖象可由y=sin（

2x

3

+

π

3

）向上平移

3

2

個單位得到，
故所求對稱中心的坐標為（

3kπ

2

-

π

2

，

3

2

）（k∈Z）

（2）cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

，
即cosx≥

1

2

，而x∈（0，π），所以x∈（0，

π

3

]，
∴

2x

3

+

π

3

∈（

π

3

，

5π

9

]，sin（

2x

3

+

π

3

）∈[sin

5π

9

，1]，
所以f（x）的值域為[sin

5π

9

+

3

2

，1+

3

2

]
綜上所述，x∈（0，

π

3

]，f（x）的值域為[sin

5π

9

+

3

2

，1+

3

2

]

點評：本題以向量為載體，考查向量的數量積運算，考查三角函數的化簡，同時考查了三角函數的性質，解題時，應掌握整體思維的策略．