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已知向量
a
=（sin
x
3
，cos
x
3
），
b
=（cos
x
3
，
3
cos
x
3
），函數f（x）=
a
•
b
，
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c，滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數f（x）的值域．
分析：（1）利用向量的數量積公式及輔助角公式，化簡函數，即可求得函數f（x）的單調遞增區間；
（2）通過b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范圍，然后求出x的范圍，進而可求三角函數的值域．
解答：解：（1）∵向量
a
=（sin
x
3
，cos
x
3
）
b
=（cos
x
3
，
3
cos
x
3
），
∴函數f（x）=
a
•
b
=sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
，
令2kπ-
π
2
≤
2x
3
+
π
3
≤2kπ+
π
2
，解得3kπ-
5
4
π≤x≤3kπ+
π
4
(k∈Z)．
故函數f（x）的單調遞增區間為[3kπ-
5
4
π，3kπ+
π
4
](k∈Z)．
（2）由已知b2=ac，cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，∴
1
2
≤cosx＜1，∴0＜x≤
π
3

∴
π
3
＜
2x
3
+
π
3
≤
5π
9

∴
3
2
＜sin（
2x
3
+
π
3
）≤1，
∴
3
＜sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
≤1+
3
2

∴f（x）的值域為（
3
，1+
3
2
]
點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，余弦定理的應用，正弦函數的值域的求法，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）當θ∈[-
π
12
，
π
3
]時，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），滿足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ）與
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大小．

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同步練習冊答案
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