Question

設函數f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）當a≠0時，求f（x）的單調區間；
（3）當a=2時，對任意的正整數n，在區間[

1

2

，6+n+

1

n

]上總有m+4個數使得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，試求正整數m的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定函數的單調性，進而可求f（x）的極值；
（2）求導函數，利用導數的正負，分類討論，即可確定函數的單調區間；
（3）當a=2時，f(x)=

1

x

+4x，f′(x)=

4x2-1

x2

，求出函數的最值，問題轉化為mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)恒成立．
令k=6+n+

1

n

≥8，且f（k）在[6+n+

1

n

，+∞)上單調遞增，由此可求正整數m的最大值．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分）
當a=0時，f(x)=2lnx+

1

x

，∴f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

．…（2分）
由f'（x）=0得x=

1

2

．
f（x），f'（x）隨x變化如下表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f（x）	-	0	+
f'（x）	↘	極小值	↙

故，f(x)極小值=f(

1

2

)=2-2ln2，沒有極大值．…（4分）
（2）由題意，f′(x)=

2ax2+(2-a)x-1

x2

令f'（x）=0得x1=-

1

a

，x2=

1

2

．…（6分）
若a＞0，由f'（x）≤0得x∈(0，

1

2

]；由f'（x）≥0得x∈[

1

2

，+∞)．…（7分）
若a＜0，①當a＜-2時，-

1

a

＜

1

2

，x∈(0，-

1

a

]或x∈[

1

2

，+∞)，f'（x）≤0；x∈[-

1

a

，

1

2

]，f'（x）≥0，
②當a=-2時，f'（x）≤0
③當-2＜a＜0時，-

1

a

＞

1

2

，x∈(0，-

1

a

]或x∈[

1

2

，+∞)，f'（x）≤0；x∈[-

1

a

，

1

2

]，f'（x）≥0．
綜上，當a＞0時，函數的單調遞減區間為(0，

1

2

]，單調遞增區間為[

1

2

，+∞)；
當a＜-2時，函數的單調遞減區間為(0，-

1

a

]，[

1

2

，+∞)，單調遞增區間為[-

1

a

，

1

2

]；
當-2＜a＜0時，函數的單調遞減區間為(0，

1

2

]，[-

1

a

，+∞)，單調遞增區間為[-

1

2

，-

1

a

]…（10分）
（3）當a=2時，f(x)=

1

x

+4x，f′(x)=

4x2-1

x2

．
∵x∈[

1

2

，6+n+

1

n

]，∴f'（x）≥0
∴f(x)min=f(

1

2

)=4，f(x)max=f(6+n+

1

n

)．…（12分）
由題意，mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)恒成立．
令k=6+n+

1

n

≥8，且f（k）在[6+n+

1

n

，+∞)上單調遞增，
∴fmin(k)=32

1

8

，因此m＜32

1

8

，而m是正整數，故m≤32，
所以，m=32時，存在a1=a2=…=a32=

1

2

，a_m+1=a_m+2=a_m+2=a_m+4=8時，對所有n滿足題意，∴m_max=32．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與單調性，考查分類討論的數學思想，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．