Question

（2010•鄭州三模）定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+d滿足：函數f（x）的圖象關于原點對稱且過點（3，-6），函數f（x）在點x₁、x₂處取得極值，且|x₁-x₂|=4．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）求函數f（x）過點P（1，-8）的切線方程．

Answer 1

分析：（I）利用奇函數的性質可得b=d=0，因此f（x）=ax³+cx，又f（3）=27a+3c=-6   ①
由f′（x）=3ax²+c=0，得x1=-

- c 3a

，x2=

- c 3a

，即

- c 3a

=2，c=-12a   ②由①②即可解得．                                   
（II）由（I）知，f′（x）=2x²-8，分別解出f′（x）＞0時，f′（x）＜0即可得出其單調區間；
（III）設切點Q（x₀，y₀），則點Q處的切線方程為：y-y0=(

2x

2 0

-8)(x-x0)  ③
注意到y0=

2

3

x

3 0

-8x0及點P（1，-8）在此切線上，
有-8-

2

3

x

3 0

+8x0=(

2x

2 0

-8)(1-x0)，解出x₀即可．

解答：解：（I）由題意f（-x）=-f（x）對x∈R恒成立，解之得b=d=0
所以f（x）=ax³+cx，又f（3）=27a+3c=-6   ①
由f′（x）=3ax²+c=0，得x1=-

- c 3a

，x2=

- c 3a

即

- c 3a

=2，c=-12a   ②
由①②得a=

2

3

，c=-8
故f（x）=

2

3

x3-8x                                    
（II）由（I）知，f′（x）=2x²-8，
當f′（x）＞0時，解得x＜-2或x＞2；
當f′（x）＜0時，解得-2＜x＜2．
所以函數f（x）的單調增區間為（-∞，-2），（2，+∞），單調減區間為（-2，2）． 
（III）設切點Q（x₀，y₀），則點Q處的切線方程為：y-y0=(

2x

2 0

-8)(x-x0)  ③
注意到y0=

2

3

x

3 0

-8x0及點P（1，-8）在此切線上，
有-8-

2

3

x

3 0

+8x0=(

2x

2 0

-8)(1-x0)，
整理得：2

x

3 0

-3

x

2 0

=0，即x₀=0或x0=

3

2

代入方程③得8x+y=0或7x+2y+9=0為所求．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、切線方程、函數的奇偶性等是解題的關鍵．