Question

（2010•淄博一模）已知雙曲線y2-

x2

3

=1，的兩焦點F₁、F₂，動點P與F₁，F₂的距離之和為大于4的定值，且向量|

PF1

|•|

PF2

|的最大值為9，
（1）求動點P的軌跡E的方程
（2）若A、B是曲線E上相異兩點，點M（0．-1）滿足

AM

=λ

MB

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓定義可知，所求動點P的軌跡為以F₁，F₂為焦點的橢圓，再求出橢圓中的a，b的值即可．
（2）設出A，B點的坐標，以及直線AB的方程，代入橢圓方程，求x1+x2，x1x2，根據

AM

=λ

MB

，找到x1，x2之間的關系，再根據前面所求關系式，化簡，即可得λ的方程，解λ即可．

解答：解：（1）雙曲線y2-

x2

3

=1的兩焦點為F₁（0，-2），F₂（0，2），
設已知定值為2a（2a＞4），則|PF₁|+|PF₂|=2a，
因此，動點P的軌跡E是以F₁（0，-2），F₂（0，2）為焦點的長軸長為2a的橢圓；
設橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
∵|PF1|•|PF2|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=a2，
（當且僅當|PF₁|=|PF₂|時等號成立）…（4分）∴a²=9，b²=9-4=5
于是，動點P的軌跡E的方程為：

y2

9

+

x2

5

=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AM

=λ

BM

，
得

-x1=λx2 -1-y1=λ(1+y2)

，
且M、A、B三點共線
設三點所在的直線為l
①當直線l的斜率存在時，
設l：y=kx-1
由

y=kx-1 y2 9 + x2 5 =1

得(5k2+9)x2-10kx-40=0…（7分）△=（-10k）²+160（5k²+9）＞0恒成立
由

x1+x2= 10k 5k2+9 x1•x2= -40 5k2+9

將x₁=-λx₂代入并消去x₂，
得

(1-λ)2

λ

=

5 2 k2

5k2+9

當k=0時，λ=1
當k≠0時，由于0＜

5 2 k2

5k2+9

=

5 2

5+ 9 k2

＜

1

2

∴0＜

(1-λ)2

λ

＜

1

2

整理得2λ²-5λ+2＜0∴

1

2

＜λ＜2且λ≠1
②當直線l的斜率不存在時，
A、B分別為橢圓長軸的兩個端點；
此時，λ=

-1-y1

1+y2

=

1

2

或2
綜上所述，實數λ的取值范圍為[

1

2

，2]．

點評：本體考查了定義法求軌跡方程，以及直線與圓位置關系的應用．關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理進行求解．