Question

（2010•淄博一模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x+2），當(dāng)x＞1時(shí)f（x）單調(diào)遞增，如果x₁+x₂＞2且（x₁-1）（x₂-1）＜0，則f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．可能為0

D．可正可負(fù)

Answer 1

分析：先由抽象表達(dá)式f（-x））=-f（x+2），推出函數(shù)的對(duì)稱中心為（1，0），再由當(dāng)x＞1時(shí)f（x）單調(diào)遞增和函數(shù)的對(duì)稱性，可知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增且f（1）=0，最后分析x₁+x₂＞2且（x₁-1）（x₂-l）＜0，說明x₁、x₂一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，且大于1的數(shù)距離1較遠(yuǎn)，由函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性可知f（x₁）+f（x₂）恒大于零

解答：解：∵f（-x））=-f（x+2），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱，
∵x＞1時(shí)f（x）單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增且f（1）=0
∵x₁+x₂＞2，∴（x₁-1）+（x₂-l）＞0
∵（x₁-1）（x₂-l）＜0
∴不妨設(shè)x₁＜x₂，則x₁＜1，x₂＞1，且|x₂-l|＞|x₁-1|
由函數(shù)的對(duì)稱性，∴f（x₁）+f（x₂）＞0
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，熟練的將已知代數(shù)條件轉(zhuǎn)化為幾何條件是解決本題的關(guān)鍵