Question

如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，現將其裁剪為等腰梯形ABCD的形狀．它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上．
（1）寫出這個梯形的周長y與腰長x之間的函數關系式，并求出定義域；
（2）求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于AB是圓O的直徑，所以三角形ABD是直角三角形，連BD，過D作DE⊥AB于E，則由射影定理可知AD²=AE•AB，從而可用腰長表示上底長，進而可求梯形的周長y與腰長x之間的函數關系式，根據上底長，可確定函數的定義域；
（2）利用配方法可知函數函數在（0，2）上單調遞增，在(2，2

2

)單調遞減，由此可求周長y的最大值．

解答：解：（1）連BD，過D作DE⊥AB于E，
∵AB是圓O的直徑，∴三角形ABD是直角三角形
∴根據射影定理有：AD²=AE•AB，
∵AD=x
∴AE=

x2

4

，又是等腰梯形
∴CD=4-2×

x2

4

=4-

x2

2

，
故梯形的周長y=4+2x+4-

x2

2

=-

x2

2

+2x+8
∵x＞0，4-

x2

2

＞0
∴0＜x＜2

2

．…（6分）
（2）由（1）得y=-

x2

2

+2x+8=-

1

2

(x-2)2+10，
∵函數在（0，2）上單調遞增，在(2，2

2

)單調遞減，
∴當x=2時，y_max=10．…（12分）

點評：本題以半圓為載體，考查函數模型的構建，關鍵是腰長表示上底長，同時考查二次函數的最值求法．