Question

如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上．
（1）求梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數解析式，并求出它的定義域；
（2）求梯形ABCD的周長y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DE⊥AB于E，連接BD，根據相似關系求出AE，而CD=AB-2AE，從而求出梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數解析式，根據AD＞0，AE＞0，CD＞0可求出定義域；
（2）利用二次函數在給定區間上求出最值的知識可求出函數的最大值．
解答：解：（1）如圖，作DE⊥AB于E，連接BD．
因為AB為直徑，所以∠ADB=90°．（1分）
在Rt△ADB與Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED．（3分）
所以，即．
又AD=x，AB=4，所以．（5分）
所以，（6分）
于是（7分）
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以，
解得．（9分）
故所求的函數為．（10分）
（2）因為，（12分）
又，所以，當x=2時，y有最大值10．（14分）
點評：射影定理的應用是解決此題的關鍵，二次函數在解決實際問題中求解最值的常用的方法，屬于中檔題．