Question

3．已知圓M：x²+（y-1）²=1＜，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點．
（1）若Q（1，0），求切線QA，QB的方程；
（2）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直線MQ的方程．

Answer 1

分析 （1）設出直線方程，利用直線與圓相切，列出方程求解即可．
（2）設AB與MQ交于P，求出|MP|．在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP||MQ|，設Q（x，0），求出Q的坐標，然后求解直線方程．

解答 解（1）設過點Q的圓M的切線方程為x=my+1，則圓心M到切線的距離為1，
∴$\frac{|2m+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=1，∴m=$-\frac{4}{3}$或0，
∴QA，QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1．
（2）設AB與MQ交于P，則MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}=\frac{1}{3}$．
在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP||MQ|，即1=$\frac{1}{3}$|MQ|，
∴|MQ|=3，∴x²+（y-2）²=9．
設Q（x，0），則x²+2²=9，∴x=±$\sqrt{5}$，∴Q（±$\sqrt{5}$，0），
∴MQ的方程為2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0或2x-$\sqrt{5}$y+2$\sqrt{5}$=0．

點評 本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．