Question

如圖，ABCD為直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD，P為平面ABCD外一點，且PB⊥BD．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）若PC與CD不垂直，求證：PA≠PD；
（3）若直線l過點P，且直線l∥直線BC，試在直線l上找一點E，使得直線PC∥平面EBD．

Answer 1

（1）∵ABCD為直角梯形，AD=AB=BD，
∴AB⊥BD，（1分）
PB⊥BD，AB∩PB=B，AB，PB?平面PAB，
BD⊥平面PAB，（4分）
PA?面PAB，∴PA⊥BD．（5分）

（2）假設PA=PD，取AD中點N，連PN，BN，
則PN⊥AD，BN⊥AD，（7分）
AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，（8分）
又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，
∴PB⊥CD（9分）
又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC，
∴CD⊥PC，與已知條件PC與CD
不垂直矛盾
∴PC≠PD（10分）

（3）在上l取一點E，使PE=BC，（11分）
∵PE∥BC，∴四邊形BCPE是平行四邊形，（12分）
∴PC∥BE，PC?平面EBD，BE?平面EBD
∴PC∥平面EBD．（14分）
分析：（1）要證PA⊥BD，只需證明AB⊥BD、PB⊥BD（因為PA、PB是平面PAB內的兩條相交直線）；
（2）利用反證法證明，推出CD⊥PC，與已知條件PC與CD不垂直矛盾，可證：PA≠PD；
（3）在上l取一點E，使PE=BC，利用直線l∥直線BC，推出PC∥BE，可以證明直線PC∥平面EBD．
點評：本題考查直線與直線垂直，直線與平面平行，異面直線所成的角，考查空間想象能力，是中檔題．