Question

已知數列{a_n}，{c_n}滿足條件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，cn=

1	(2n+1)(2n+3)

．
（1）若b_n=a_n+1，并求數列{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}的前n項和T_n，求數列{（2n+3）T_n•b_n}前n項和Q_n．

Answer 1

分析：（1）：由已知可得a_n+1+1=2（a_n+1），結合等比數列的通項公式可求
（2）由cn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，考慮利用裂項求和可求T_n，然后代入（2n+3）T_n•b_n=n•2ⁿ，再利用錯位相減求和即可求解

解答：解：（1）：∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴

an+1+1

an+1

=2且a₁+1=2
∵b_n=a_n+1，
∴

bn+1

bn

=2且b₁=2
∴{b_n}是以2為首項以2為公比的等比數列
∴bn=2n
（2）∵cn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

2n+3

∴（2n+3）T_n•b_n=n•2ⁿ
∴Qn=1•2+2•22+…+n•2n
2Q_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-Qn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（2-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴Qn=(n-2)•2n+1+2

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式a_n+1=pa_n+q構造等比數列求解數列的通項公式及錯位相減求解數列的和，屬于數列知識的綜合應用．