Question

設函數f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0，其中n為正整數．
（1）判斷函數f₁（θ）、f₃（θ）的單調性，并就f₁（θ）的情形證明你的結論；
（2）證明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）對于任意給定的正奇數n，求函數f_n（θ）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設 θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，]，根據三角函數的特點判斷f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁）＜0，從而得出結論；
（2）首先利用余弦的二倍角公式化簡原式的左邊等于cos²2θ，同理原式右邊也等于cos²2θ，從而證明結論．
（3）當n=1時，f₁（θ）在[0，]上單調遞增，求出最值；當n=3時，f₃（θ）在[0，]上為單調遞增，求出最值；正奇數n≥5的情形，首先根據定義判斷出函數的單調遞增，從而得出f_n（θ）的最大值為f_n（）=0，最小值為f_n（0）=-1．
解答：解：（1）f₁（θ）、f₃（θ）在0，上均為單調遞增的函數．
對于函數f₁（θ）=sinθ-cosθ，設 θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，]，則
f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁），
∵sinθ₁＜sinθ₂，cosθ₂＜cosθ₁
∴f₁（θ₁）＜f₁（θ₂）函數f₁（θ）在[0，]上單調遞增．
（2）∵原式左邊=2（sin⁶θ+cos⁶θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）
=2（sin²θ+cos²θ）（sin⁴θ-sin²θcos²θ+cos⁴θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）
=1-sin²2θ=cos²2θ．
又∵原式右邊=（cos²θ-sin²θ）2=cos²2θ
∴2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）．
（3）當n=1時，函數f₁（θ）在[0，]上單調遞增，
∴_f1（θ）的最大值為f₁（）=0，最小值為f₁（0）=-1．
當n=3時，函數f₃（θ）在[0，]上為單調遞增．
∴f₃（θ）的最大值為f₃（）=0，最小值為f₃（0）=-1．
下面討論正奇數n≥5的情形：對任意θ1、θ₂∈[0，]，且θ₁＜θ₂
∵f_n（θ₁）-f_n（θ₂）=（sinⁿθ₁-sinⁿθ₂）+（cosⁿθ₂-cosⁿθ₁），
以及 0≤sinθ₁＜sinθ₂＜1  0≤cosθ₂＜cosθ₁＜1，
∴sinⁿθ₁＜sinⁿθ₂ cosⁿθ₂＜cosⁿθ₁，從而f_n（θ₁）＜f_n（θ₂）．
∴f_n（θ）在[0，]上為單調遞增，
則f_n（θ）的最大值為f_n（）=0，最小值為f_n（0）=-1．
綜上所述，當n為奇數時，函數f_n（θ）的最大值為0，最小值為-1．
點評：本題考查了三角函數的最值，函數單調性的判定以及同角三角函數的基本關系，一般根據定義判斷函數的單調性，此題有一定難度．