Question

如圖所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點F在DC上，DF=2．動點M、N分別從點D、B同時出發，沿射線DA、BA的方向運動，當第二次MF=MN時M、N兩點同時停止運動．連接FM、FN，當F、N、M不在同一直線時，可得△FMN，設動點M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運動的時間為t秒．試解答下列問題：
（1）求F、M、N三點共線時t的值；
（2）設△FMN的面積為S，寫出S與t的函數關系式．并求出t為何值時S的值最大．
（3）試問t為何值時，△FMN為直角三角形？

Answer 1

【答案】分析：以A為坐標原點，AB，AD為x，y軸正方向建立坐標系，結合兩點之間的距離公式，構造關于t的方程，解方程可得t的取值范圍
（1）若F、M、N三點共線，則∥，結合向量共線的充要條件，可求出滿足條件的t值．
（2）結合（1）的結論，分t＜2+2時，t=2+2時，2+2＜t≤6時和6＜t≤10+2時四種情況分別求出△FMN面積的最值，最后綜合討論結果，可得答案．
（3）利用勾股定理和兩點之間的距離公式，分別討論可得△FMN為直角三角形時的t值．
解答：解：以A為坐標原點，AB，AD為x，y軸正方向建立坐標系，
則A（0，0），B（6，0），C（6，4），D（0，4），F（2，4），M（0，4-t），N（6-t，0）
若MF=MN，則4+t²=（4-t）²+（6-t）²
即t²-20t+48=0
解得t=10±2
故t∈[0，10+2]
（1）若F、M、N三點共線，則∥
即（-2，-t）∥（4-t，-4）
即t²-4t-8=0
解得t=2+2
（2）①當t＜2+2時，如下圖所示：

S_△FMN=S_ABCD-S_△AMN-S_△DMF-S_NBFC
=4×6-×（4-t）（6-t）-×2×t-×（4+t）×4
=-t²+2t+4，
此時t=2時，S_△FMN取最大值6
②當t=2+2時，如下圖所示：

F、M、N三點共線，S_△FMN=0
③當2+2＜t≤6時，如下圖所示：

S_△FMN=×NE×DM=×[-（6-t）]×t=t²-2t-4，
此時t=6時，S_△FMN取最大值2
④當6＜t≤10+2時，如下圖所示：

S_△FMN=×NE×DM=×[（t-6）+]×t=t²-2t-4，
此時t=10+2時，S_△FMN取最大值52+16
綜上所述t=10+2時，S_△FMN取最大值52+16
（3）若△FMN為直角三角形，
①若FM為斜邊，則FM²=FN²+MN²，
即4+t²=（4-t）²+（6-t）²+（4-t）²+16
即t²-14t+40=0
解得t=4，或t=10
②若FN為斜邊，則FN²=FM²+MN²，
即（4-t）²+（6-t）²=4+t²+（4-t）²+16
即12t=16
解得t=
③若MN為斜邊，則MN²=FN²+FM²，
即4+t²+（4-t）²+（6-t）²=（4-t）²+16
即t²-8t+12=0
解得t=2，或t=6
綜上所述△FMN為直角三角形，t=4，或t=10，或t=，或t=2，或t=6
點評：本題考查的知識點是函數單調性的應用，函數的最值，勾股定理，兩點間距離公式，是函數圖象與性質的綜合應用，計算量較大．