Question

已知偶函數f（x）（x∈R），當x∈（-2，0]時，f（x）=-x（2+x），當x∈[2，+∞）時，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
關于偶函數f（x）的圖象G和直線l：y=m（m∈R）的3個命題如下：
①當a=2，m=0時，直線l與圖象G恰有3個公共點；
②當a=3，m=時，直線l與圖象G恰有6個公共點；
③?m∈（1，+∞），?a∈（4，+∞），使得直線l與圖象G交于4個點，且相鄰點之間的距離相等．
其中正確命題的序號是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：可求出函數在x∈[0，+∞）時的解析式，令其等于0，解方程可得根，由對稱性可得根的個數，可判①②正確；③同理可得根個數為4，可得4個點的坐標，由x₃-x₂=x₄-x₃，化簡可得a的范圍，取a的值即可．
解答：解：設x∈[0，2），則-x∈（-2，0]，故f（-x）=x（2-x），
由函數為偶函數可知，當x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x），
故當x∈[0，+∞）時，f（x）=，
①當a=2，m=0時，x∈[0，+∞）時，f（x）=，
令其等于0可得，x=0，或x=2，由函數圖象的對稱性可知，
此時直線l與圖象G恰有3個公共點-2，0，2，故①正確；
②當a=3，m=時，x∈[0，+∞）時，f（x）=，
令其等于可得x=，或x=，或x=，由函數圖象的對稱性可知，
此時直線l與圖象G恰有6個公共點-，-，-，，，，故②正確；
③?m∈（1，+∞），令f（x）==m，
∵當x∈[0，2）時，f（x）=x（2-x）=-（x-1）²+1≤1，
故只能讓（2-x）（a-x）=m，（m＞1），當△=（a-2）²-4m＞0，
即（a-2）²＞4，即a＞4，或a＜0時，
可解得x=，或x=，
故由函數圖象的對稱性可知直線l與圖象G交于4個點，由小到大排列為：x₁=，
x₂=，x₃=，x₄=，
而x₄-x₃=，x₃-x₂=a+2-，
由x₃-x₂=x₄-x₃，化簡可得3a²-20a+12=16m＞16，解得a＜，或a＞，
故可取a=8＞，當然滿足a∈（4，+∞），使距離相等，
故對?m∈（1，+∞），?a=8∈（4，+∞），使得直線l與圖象G交于4個點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確．
故選D
點評：本題考查命題真假的判斷，涉及函數的奇偶性和根的個數的判斷，屬基礎題．